江苏农信社考试财务管理（3）
第二章  财务管理基础观念
第一节  资金时间价值
(三) 年金的计算
    年金是指等额、定期的系列收支。例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入等，都属于年金收付形式。按照收付的次数和支付的时间划分，年金有以下几类：
    1．普通年金
    普通年金又称后付年金，是指各期期末收付的年金。普通年金的收付形式如图2—1。横线代表时间的延续，用数字标出各期的顺序号；竖线的位置表示支付的时刻，竖线下端数字表示支付的金额。

（1）普通年金终值计算
普通年金终值是指其最后一次支付时的本利和，它是每次支付的复利终值之和。例如，按图2—1的数据，其第三期末的普通年金终值可计算如图2—2。

在第一期末的100元，应赚得2期的利息，因此，到第三期末其值为121元；在第二期末的100元，应赚得1期的利息，因此，到第三期末其值为110元；第三期末的100元，没有计息，其价值是100元。整个年金终值331元。
    如果年金的期数很多，用上述方法计算终值显然相当繁琐。下面提供简便的计算方法。 
    设每年的支付金额为A，利率为i，期数为n，则按复利计算的年金终值s为：                               
    s = A + A(1+i) + A(1+i)2 + ……… + A(1+i)n-1 
    等式两边同乘(1+i)：
    (1+i)s = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + ……… + A(1+i)n 
    上述两式相减：(1+i)s - s = A(1+i)n - A


式中[(1+i)n - 1]/i是普通年金1元、利率为i、经过n期的年金终值，记作(s／A，i，n)。
    (2) 偿债基金
    偿债基金是指为使年金终值达到既定金额每年应支付的年金数额。
    [例2—8] 拟在5年后还清10 000元债务，从现在起每年等额存入银行一笔款项。假设银行存款利率10％，每年需要存入多少元?
    由于有利息因素，不必每年存入2 000元(10 000÷5)，只要存入较少的金额，5年后本利和即可达到l0 000元，可用以清偿债务。


根据年金终值计算公式：


    可知：
    式中的是年金终值系数的倒数，称偿债基金系数，记作(A／s，i，n)。它可以把年金终值折算为每年需要支付的金额。
将例2—8有关数据代入上式：
    A = 10 000×[1÷(s／A，10%，5)]
      = l0 000×[1÷6.105]
      = 10 000×O.1638
      = 1 638（元）
    因此，在银行利率为l0％时，每年存入1 638元，5年后可得10 000元，用来还清债务。
    (3) 普通年金现值计算
    普通年金现值，是指为在各期期末取得相等金额的款项，现在需要投入的金额。
    [例2—9] 某人出国3年，请你代付房租，每年租金100元，设银行存款利率l0％，他应当现在给你在银行存入多少钱?
这个问题，可以表述为：请计算i=10%，n=3，A＝100元之年终付款的现在等效值是多少? 
设年金现值为p，则(见图2—3)：

p = 1OO×(1+10％)-1 + 1OO×(1+10％)-2 + 1OO×(1+10％)-3
      = 100×0.9091 + 100×0.8264+100×0.7513
      = 1OO×（O．9091+0.8264+0.7513)
      = 1OO× 2.4868
      = 248.68（元）
计算普通年金现值的一般公式：
    p = A(1+ i)-1 + A(1+ i)-2 + ……… + A(1+ i)-n
等式两边同乘(1+i)
    p(1+ i) = A + A(1+ i)-1 + ……… + A(1+ i)-（n-1）
    后式减前式：
    p(1+ i) - p =  A - A(1+ i)-n
    p•i = A[1-(1+ i)-n]
p = A •    
式中的是普通年金l元，利率为i、经过n期的年金现值，记作(p／A，i，n)，可据此制作普通年金现值系数表，以供查阅。
    根据例2—9数据计算：
    p = A·(p／A，i，n) = 100×(p／A，10％，3)
    查表；(p／A，10％，3) = 2.487
    p = 100×2.487 = 248.70（元）
    2．预付年金
    预付年金是指在每期期初支付的年金，又称即付年金或先付年金，预付年金支付形式见图2-4。

(1) 预付年金终值计算
    预付年金终值的计算公式为：
    s = A(1+i)+A(1+i)2 + ……… +A(1+ i)n
    式中各项为等比数列，首项为A(1+i)，公比为(1+i)，据等比数列的求和公式可知；
式中的[(1+i)n+1-1]/i - 1是预付年金终值系数，或称1元的预付年金终值。它和普通年金终值系数[(1+i)n - 1] / i相比，期数加l，而系数减1，可记作[(s／A，i，n+1) - 1]，并可利用“普通年金终值系数表”查得(n+1)期的值，减去1后得出1元预付年金终值。
[例2—12]A = 200，i = 8％，n = 6的预付年金终值是多少?
    s = A·[(s／A，i，n+1)-1)
      = 200×[(s／A，8％，6+1)- 1]
    查“普通年金终值系数表”：
    (s／A，8％，7) = 8.923
    s = 200×(8.923 - 1)
      = 1 584.60(元)
    (2) 预付年金现值计算
预付年金现值的计算公式：
    p = A + A(1+i)-1+A(1+i)-2 + ……… +A(1+ i)-(n-1)
    式中各项为等比数列，首项是A，公比是(1+i)-1，根据等比数列求和公式：
式中的[1-（1+i）-(n-1)]/i + 1是预付年金现值系数，或称1元的预付年金现值。它和普通年金现值系数[1-(1+ i)-n]/i相比，期数要减1，而系数要加l,可记作[(p／A，i，n-1)+1]。可利用“普通年金现值系数表”查得（n-1）期的值，然后加1，得出1元的预付年金现值。
    [例2—13] 6年分期付款购物，每年初付200元，设银行利率为l0％，该项分期付款相当于一次现金支付的购价是多少？
    p = A·[(p／A，i，n-1)+1)
      = 200×[(p／A，10%，5)+1]
      = 200×（3.791+1）
      = 958.20（元）

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